Contando infinitamente parte II - Novos números

Em uma postagem anterior, raciocinamos sobre a questão dos infinitos números naturais (1,2,3,.....) e verificamos um fato curioso: mesmo tomando apenas subconjuntos destes (só os números pares, só os números maiores que 1 milhão, ou maiores que 1 bilhão) temos sempre uma “mesma” quantidade infinita de números. A primeira vista, pode parecer então que qualquer conjunto infinito tem o mesmo número de elementos. 

Será que a situação seria diferente se incluíssemos outros números além dos naturais? A operação de subtração de dois naturais, por exemplo, pode produzir números que não são naturais. Se subtraímos 101 de 100, ficamos “devendo” 1, e precisamos representar esta quantidade, que está abaixo do zero. Chegamos assim à ideia do número negativo (no caso, o número -1). Quando incluímos os negativos e o número zero aos naturais, temos os números inteiros.

Da mesma forma, a divisão entre dois naturais pode produzir números que não são naturais. Se dividirmos 10 por 3 temos um número bem definido, maior que o número 3, mas menor que o número 4, e que não é natural (nem inteiro). Quando incluímos estas frações (quantidades representadas como a razão entre dois números inteiros), construímos o conjunto dos números racionais.

Será que, ao acrescentarmos todos esses novos números aos nossos infinitos naturais, teremos uma infinitude “maior” que a dos naturais? A resposta será, mais uma vez, não.

Para mostrar por quê, vamos tornar nosso raciocínio um pouco mais amplo. Se eu usar duplas de números naturais, eu tenho um conjunto maior do que os naturais? Estas duplas são, naturalmente, formadas por dois números naturais. Aqui estão alguns exemplos.

(1 , 1)

(1 , 3)

(3 , 1)

Vejam que, se usarmos apenas os 5 primeiros naturais (1,2,3,4 e 5), podemos formar 25 duplas como essas. A quantidade parece maior, mas devemos nos lembrar da questão de comparar naturais e números pares, que discutimos na postagem anterior. Raciocinar sobre conjuntos finitos e querer daí concluir relações gerais sobre infinitudes não funciona.

De fato, novamente Cantor vem mostrar que a cada dupla dessas podemos atribuir um número natural único. A expressão nem é particularmente complicada. Se há uma dupla formada pelos números (x , y), eu atribuo a ela o número

½ (x+y) (x+y+1) +y

O leitor, se quiser, pode fazer alguns testes com esta expressão, e descobrirá que, para cada par, ela atribui um (e apenas um) número natural. Por exemplo, para os três pares apresentados acima, este "Pareamento de Cantor" indicaria os números 3, 11 e 9, respectivamente.  E ele pode ser estendido para trios, quartetos ou quaisquer listas de números.

Pelo argumento que temos usado deste a primeira postagem, uma vez que haja correspondência com os números naturais, a quantidade é igual à dos naturais. Neste ponto, talvez se deva mencionar que este argumento (segundo o qual existir correspondência entre dois conjuntos infinitos prova que eles têm a mesma quantidade) não está livre de críticas no campo da filosofia, mas não cabe uma discussão mais profunda disto aqui.

E o que tudo isso tem a ver com números negativos ou frações? Ora, quando representamos o número negativo -1, o sinal “-“ é apenas um código para indicar que este é um número negativo. Poderíamos convencionar que a dupla (0 ; 1 ) representa o número 1 e que a dupla (1 ; 1) representa o número -1. Para qualquer outro número x, (0 ; x) representa o número x e (1 ; x) representa a quantidade –x. Assim, os números inteiros são apenas um caso particular destes pares de números, em que se usam apenas os números 0 e 1 como primeiro número do par. Se existe infinitude contável de pares de números naturais, adicionar os negativos não nos ajudou em nada.

Para as frações, a relação é ainda mais evidente. Representamos a fração 10/3 desta forma por convenção. Podemos representá-la pela dupla (10 ; 3). Assim, adicionar todas as frações não produziu uma infinitude diferente.

Talvez neste ponto o leitor esteja reclamando aborrecidamente (“Já entendi. Todas as infinitudes são iguais”). Mas o interessante é que não são. Com um pouco de paciência, vamos encontrar este conjunto “mais infinito” do que os infinitos números naturais. Mas precisamos ainda de outros números.

E outros números existem, mas não vamos encontrá-los fazendo operações elementares sobre os números que já conhecemos, como acabamos de fazer com os negativos e as frações. É melhor usar aqui um argumento geométrico. Primeiro, façamos uma pergunta: o que significa uma medida? Quando o autor afirma que tem 1 metro e 65 centímetros de altura, o que isto de fato quer dizer? Podemos pensar da seguinte forma: se dividirmos o metro em 100 partes iguais, o autor cabe exatamente em 165 destas partes. Bom, na verdade não cabe, porque o autor tem vários milímetros de altura além destes 165 centímetros, mas vai dispensá-los para simplificar o argumento.

Mesmo que o autor queira os seus milímetros de altura de volta, bastaria dividir o metro em 1000 partes. Pode-se imaginar que qualquer medida “caiba” um número inteiro de vezes em algum submúltiplo suficientemente pequeno do metro. Ou, em outras palavras, que exista alguma fração relacionando qualquer comprimento e o metro, ou qualquer outra unidade de medida que se queira usar.

A descoberta de que isto não é verdade deve ser considerada uma das maiores ironias do destino em toda a história da matemática, já que ela coube justamente aos  pitagóricos, que valorizavam mais do que quaisquer outros a ideia de proporção. Em particular, eles descobriram que, em um quadrado qualquer, nenhum pedaço de seus lados, por menor que seja, cabe um número inteiro de vezes na diagonal.  

Traduzindo para números e álgebra, esta curiosa descoberta implica no fato de que a raiz quadrada do número 2 não pode ser expressa como uma fração. Diz-se que este é um número irracional. São irracionais, entre outros, as raízes quadradas dos números primos. São também irracionais certos números chamados transcendentes (que não podem ser encontrados a partir de finitas operações com números inteiros), como π (pi, a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo), e e (o número de Euler, que aparece, por exemplo, na resposta de sistemas físicos a estímulos externos).

E há muitos outros. Na verdade (como o leitor pode imaginar....) há infinitos irracionais. E há infinitos irracionais entre dois números quaisquer.

Uma característica dos irracionais é que sua expressão decimal, ou seja, sua expressão como soma de potências do número 10 (unidades, décimos, centésimos, etc.) é infinita e sem repetições. Para entender isto, vamos ver o que ocorre com a expansão decimal de números racionais, primeiramente.

Em alguns casos,  números racionais têm descrição decimal finita (10/4 = 2,5). Em outros, é infinita (10/3 = 3,33333333333333333333333.....). Mesmo quando a expansão é infinita, os números desta expansão acabam se repetindo. Por exemplo, 10/7 = 1,42857428571428571....). Neste último caso, os números 428571 serão repetidos para sempre.

Já para os irracionais, a expansão decimal é infinita, e nenhuma repetição aparece. As primeiras cinquenta casas da expansão decimal de pi valem

π = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...

e, por mais que se calculem novas casas, nunca haverá um padrão de repetição. Também o número de Euler, em 50 casas decimais, vale

e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Vejam que o “1828” parece que ia ser repetido, mas depois o número e mudou de idéia.

A inclusão dos irracionais no conjunto de racionais produz o conjunto de números reais. E este conjunto tem, finalmente uma infinitude diferente daquela dos inteiros, o que vínhamos tentando produzir até agora.

O argumento é, de novo, atribuído a Cantor, e espantoso pela sua simplicidade. Vamos supor que eu tenha concebido uma lista de todos os números reais, como fizemos anteriormente para os naturais, os inteiros e os racionais. Estes números (que incluem os irracionais) podem ser expressos por uma expressão decimal infinita. Vamos supor que a lista tenha o seguinte aspecto:

D11 D12 D13 ......

D21 D22 D23 ............

D31 D32 D33 ............

......

Em cada linha desta lista, há uma sequência (possivelmente infinita) de dígitos decimais (0,1,..,9). A rigor, devemos também indicar onde está  a vírgula decimal de cada número, mas isto pode ser facilmente definido com dígitos extras.

Não interessa de que maneira engenhosa nós tenhamos concebido tal lista: ela não pode incluir todos os irracionais. E a demonstração é muito simples. Dada esta lista, basta construir um número cuja expansão decimal é

• Diferente de D11 na primeira casa.
• Diferente de D22 na segunda casa.
• Diferente de D33 na terceira casa.

e assim por diante. Teremos construído um número real que, por definição, não pode estar nesta lista, seja ela concebida como for. Se você atualizar a lista com este novo número que acabamos de construir, eu faço um novo número que não está incluído na nova lista, seguindo o mesmo método. E isto não terá fim.  Veja que o argumento não vale para os racionais, porque em algum momento seus dígitos decimais acabam ou se repetem.

Assim, não é possível colocar em correspondência os números reais e os números naturais. Os números reais não podem ser contados. Trata-se, finalmente, da infinitude incontável que procurávamos.

Depois de verificarmos tantos argumentos e tantos conjuntos de números, chegamos aonde? Conjuntos infinitos têm a estranha propriedade de terem subconjuntos com a mesma quantidade de elementos; naturais, inteiros e racionais todos pertencem a uma mesma classe de infinitude; os números reais (que incluem os irracionais) pertencem a outra classe de infinitude.

E, neste ponto de chegada, temos perguntas muito mais sérias do que aquelas com que partimos. Duas devem surgir logo de imediato:

1. Existem infinitudes ainda maiores do que a dos reais?
2. Existem infinitudes intermediárias, maiores do que a dos naturais e menores do que a dos reais?

Já adiantando, a resposta à primeira pergunta é sim. A resposta à segunda pergunta é.... digamos..... não se sabe.  Na verdade, é pior do que isso. Não se quer dizer que ninguém inteligente o bastante apareceu para responder à segunda pergunta. A resposta à segunda pergunta é “acredita-se que esta pergunta não possa ser respondida sem hipóteses adicionais".

Mas isso definitivamente é assunto para uma postagem futura.

Ainda os livro

Houve recentemente grande polêmica a respeito de um livro didático do ensino fundamental (“Por uma vida melhor”, Carolina Amaral de Aguiar e outros autores). Em particular, com relação ao seguinte trecho:

‘Mas eu posso falar os livro?’. Claro que pode. Mas fique atento porque, dependendo da situação, você corre o risco de ser vítima de preconceito linguístico.

Por um lado, muitos demonstraram indignação com um livro didático que “ensina a falar errado”. Outros tantos mostraram-se não menos indignados com os primeiros, que acusaram de ignorância, ou hipocrisia, ou submissão à imprensa golpista.

Mais uma opinião não há de fazer mal, mesmo vinda de um leigo (ou, pelo menos, um leigo no ensino de crianças e adolescentes). O livro de fato não ensina a falar errado, e esta crítica não é justa quando observamos o contexto da frase. Mas o trecho acima, mesmo lido em contexto, ou principalmente quando se pensa no contexto, merece a indignação que causou.

A linguagem não é um objeto acadêmico, mas um instinto individual que se expressa e se reinventa em sociedade. A linguagem em sua manifestação popular não é menos competente em realizar seus propósitos do que a linguagem mais erudita. Não existe debilidade cognitiva ou preguiça no falar popular, apenas um conjunto diferente de regras. Convenhamos, a justificativa teórica por trás da polêmica frase não é algo difícil de entender.

Nem é tese particularmente nova. Lembro-me, quando ainda aluno do ensino fundamental (à época “primeiro grau”), de ter sido instruído sobre a diferença entre a norma culta e outras formas de comunicação. Nunca fiquei tentado a dizer “passa-me o pão!” na mesa, em família, apesar de meu livro didático não conter uma autorização explícita para que eu continuasse empregando a próclise erradamente. E à época estávamos, se não me engano, no governo Figueiredo, e portanto podemos dispensar o debate PT x PSDB, que não nos ajuda em nada.

Considero razoável, para não dizer óbvio, pedir que um livro do ensino fundamental dedique-se a ensinar fundamentos, e não versões infantilizadas de teses da pedagogia, linguística ou sociologia. Peço também que o livro tenha sido escrito tendo em mente os estudantes que devem lê-lo, e não os especialistas que devem elogiá-lo. O trecho ora famoso, na minha opinião, mostra que o livro falha nos dois quesitos.

Para quem foi escrita a polêmica frase? Para o suposto estudante que fala “os livro”? Ele não sabe que “pode” falar como....fala? É ele que vem, incrédulo, pedir nossa permissão com a pergunta que inicia este trecho citado? Sem esse aviso, ele talvez viesse a desprezar o linguajar de seus amigos, de sua família, dos artistas populares que admira? Alguém realmente acredita que livros e professores tenham este poder?

Não, este trecho foi escrito para que os próprios autores professem, diante de seus pares e do público,  sua subscrição a teses em voga. Também a defesa apaixonada que se seguiu, com vários depoimentos de especialistas --- pois não há certo nem errado, mas especialistas há --- não chega a ser um debate sobre técnicas de ensino, mas uma cerimônia na qual pessoas vêm a público demonstrar sua superior generosidade, conhecimento e tolerância.

Mas pior do que esta autorização condescendente é a advertência que se segue: a crítica ao emprego do linguajar popular é preconceito. De novo os autores subscrevem tese cuja popularidade atual só é menor do que o tamanho do erro nela contido. Segundo tal ideia, toda crítica seria manifestação de alguma forma de preconceito. Tal raciocínio só pode interessar a quem deseja calar a crítica e, no caso da educação, fazer apologia à ignorância.

Afirmei acima que não há debilidade cognitiva ou preguiça no falar popular. É preconceito supor que uma pessoa seja pouco inteligente, ou incapaz, porque fala “os livro”. Mas não é preconceito supor que ela tenha tido educação incompetente, ou tenha-se dedicado pouco aos estudos. No momento de escolher entre candidatos para qualquer tarefa, não é preconceituoso nem errado levar este fato em conta. E a pessoa terá sido vítima sim. Não do preconceito, mas do fracasso do processo a que ela se submeteu, pensando em se aprimorar. Alguém que está sentado em uma sala de aula para estudar não pode seriamente considerar a "opção" oferecida pelos autores. Para falar como já fala, para pensar como já pensa, o que estaria fazendo ali?

Se a escola de fato não pode corrigir ou criticar (porque isto seria preconceito), o que ela de fato oferece? Como se chega à vida melhor que o livro humildemente propõe em seu título? Para ensinar ou defender o que se vê nas ruas, as ruas são melhores do que as escolas. Melhores do que seus professores e certamente melhor do que seus livros. 

Contando discretamente até o infinito --- e mais um pouco. Parte I

A Matemática não tem lá uma fama muito boa. Árida, difícil, e “sem sentido” são algumas apreciações comuns. Há também a acusação de “frieza”. É considerada uma disciplina ao alcance apenas de uma minoria que nasceu com a habilidade (ou será o defeito?) de decifrar seus mistérios.

É claro que as diferentes áreas de atuação atraem pessoas com diferentes perfis. Mas é bastante injusto julgar a Matemática pelo que se faz dela na escola. Disciplina alguma (nem a Arte, nem a Ciência, nem a Filosofia) sobrevive incólume ao tratamento a ela dispensado nos bancos escolares.

É particularmente injusto colocar a Matemática lá onde agem os “frios e calculistas”, de um lado, e colocar do outro lado as disciplinas que expressam as qualidades do espírito humano. Longe de ser um campo de idéias pré-definidas, imutáveis e autonomamente construídas, a Matemática é um campo ilimitado para expressão da criatividade. Não há nela fundamentos imutáveis, nem proibições absolutas. O símbolo + pode ser redefinido para ter pouca (ou nenhuma) relação com a tabuada de adição. A afirmativa 1+1=1 pode ser válida, e estudantes de Engenharia Elétrica e de Computação trabalham rotineiramente com ela.

Por vezes, questões profundas e instigantes estão logo ao lado dos objetos e operações mais simples da matemática. É também notável como algumas dessas indagações, que parecem nascidas exclusivamente para satisfazer a uma curiosidade intelectual, acabam encontrando aplicação em campos da ciência e da tecnologia.

Vamos percorrer um desses caminhos nesta série de textos, começando com o simples ato de contar objetos. Logo estaremos nos perguntando coisas estranhas, como “todas as coleções infinitas têm o mesmo número de objetos?”, “todas as coleções de objetos podem ser contadas, mesmo que se demore infinitamente? “, “é possível conceber uma máquina que produza automaticamente a lista de todas as afirmações que podem ser provadas em matemática? “ Veremos que por trás de algumas destas questões estão conceitos bastante mundanos, que o leitor certamente já encontrou em algum momento, tais como a diferença entre o analógico e o digital, só para citar um deles.

Todos sabemos contar conchas recolhidas na praia, contar carneirinhos durante a insônia (se é que alguém realmente faz isso), e contar outros objetos. Sabemos que começamos com o número 1, e sabemos seguir daí pra frente. E sabemos ainda que, possivelmente, esta contagem não tem fim. Estes números que apareceriam na nossa contagem hipotética (1, 2, 3, etc.) são, muito apropriadamente, chamados Números Naturais.

A idéia de infinitude é incômoda. Podemos aceitá-la intuitivamente a princípio, mas é difícil fazer afirmações sobre o infinito. Por exemplo, o que ocorre se eu começar a contar do número 2? (eu resolvi pular o número 1, não gosto dele, ela dá azar). A sequência de números continua infinita, ao que tudo indica. Mas ao mesmo tempo ela deve ter um número a menos (porque o 1 vai ficar de fora). Infinito menos 1 ainda é infinito? E é o mesmo infinito?

Vamos deixar a questão ainda mais interessante. Eu quero contar apenas os números pares. Se eu contar todos os naturais até 10, vou ver que apenas 5 são pares (o 2, 4, 6, 8 e 10). Se contar até o 20, tenho 10 pares.

E se contar infinitamente? Existem mais números naturais do que números pares? Bom, parece que, se eu aumentar minha contagem mais e mais (em direção ao infinito!), continua a haver metade de pares. Assim, eu seria levado a afirmar que há 2 vezes mais números naturais do que números pares, que afinal são só um subconjunto daqueles.

No entanto, observe que há algo estranho sobre o meu argumento. Meu objetivo era comparar os infinitos números naturais com os infinitos números pares. Quando paramos a contagem em 10, em 20, ou em 1 bilhão, temos um conjunto finito, e a princípio, o raciocínio não vale.

Ora, mas certamente eu preciso parar a contagem alguma hora, não é mesmo? Curiosamente a resposta é não. Vejamos o raciocínio de Georg Cantor (1845-1918), matemático alemão que se aventurou ousadamente neste estranho campo de conjuntos que não têm fim.

Eu posso fazer uma correspondência entre cada número natural e um número par. Funciona assim: você me informa o número natural, e eu multiplico por dois. O resultado certamente será um par. A correspondência fica desta forma:

1 <-> 2

2 <-> 4

3 <->6

e assim até o infinito.

O raciocínio que precisamos seguir agora é muito simples: se a cada natural corresponde um par, o número de naturais e de pares precisa ser o mesmo. Se não fosse o mesmo, eu seria proibido de fazer esta correspondência em algum momento. Mas, dado qualquer número, sei fazer a correspondência. Ela não depende do tamanho do número escolhido. Há tantos naturais quanto pares! Veja que meu raciocínio não envolveu parar a contagem em algum momento e comparar os dois conjuntos. Estamos realmente comparando dois conjuntos infinitos...

E mais: como contar nada mais é do que atribuir um número natural a cada objeto, toda coleção que possa ser colocada em correspondência com os naturais pode ser contada, ainda que, se a coleção não tiver fim, esta contagem não termine nunca.

Sem sentido mesmo, essa matemática! Como assim pode ser contada se a contagem não termina? Veja que a matemática é elegante demais para se preocupar com coisas mundanas. Não interessa se você vai efetivamente terminar esta contagem antes de partir desta para melhor, ou ficar entediado e resolver fazer outra coisa (o que, convenhamos, é muito mais provável). A questão é saber se existe um procedimento para colocar esta coleção em correspondência com os números naturais. Se existe, ela pode ser contada. E daremos a essa coleção de infinitos objetos que pode ser contada, o nome de Infinitude Contável, é claro. Um nome no mínimo estranho sem o contexto do argumento acima.

Assim, nossa sequência de pares é uma infinitude contável. O número par “1 milhão” é o número 500000 desta sequência, e eu sei disso sem ter que contar diretamente até lá. Eu vou ter que parar a contagem alguma hora, mas eu sei o que foi contado e o que não foi, e sei onde entram os (infinitos) objetos que ainda falta contar.

E, se puder ser contada, essa coleção infinita de objetos tem “o mesmo tamanho” da coleção de números naturais. Assim como aconteceu com os pares, a quantidade de números naturais maiores que 1 milhão é igual à de números naturais. É só imaginarmos a seguinte correspondência:

1 <-> 1 milhão e 1

2 <-> 1 milhão e 2

3 <-> 1 milhão e 3

Será que este argumento nos leva a concluir que qualquer conjunto infinito é contável? A princípio, eu só preciso definir a ordem pela qual os elementos serão contados. Os exemplos que vimos nos levam a pensar que estabelecer esta ordem não deve ser tão difícil.

Na verdade, um dos resultados mais notáveis do trabalho de Cantor é uma resposta negativa a esta indagação: existem conjuntos que, além de infinitos, não podem ser colocados em correspondência com os naturais, ou seja, não se pode definir, de nenhuma forma, um método de contagem.

É interessante tentarmos encontrar estes conjuntos. Não funciona com os naturais, então teremos que procurar outros tipos de números. Mas isto fica para um próximo post. 

Conheça Hans, o incrivel cavalo matemático

Durante a primeira década do século XX, alguns cidadãos da Alemanha foram brindados com um curioso espetáculo de rua: a demonstração das habilidades matemáticas e linguísticas do cavalo Hans.

Em uma destas demonstrações, por exemplo, o treinador e dono de Hans, Orlov Trotter, perguntava em voz alta: “Hans, se o dia 5 do mês caiu em uma terça-feira, qual o dia da sexta-feira seguinte?” Hans então começava a bater uma das patas no chão e parava após 8 batidas, para total admiração do público e o sorriso orgulhoso do dono.

As perguntas para Hans podiam também ser feitas por escrito, e envolver operações aritméticas de certa complexidade.

O assunto despertou óbvio interesse, e em certo momento criou-se uma comissão de investigação, formada por acadêmicos de diversas áreas e profissionais do ramo do circo. Uma série de experimentos conduzidos pelo psicólogo Oskar Pfungst começou a lançar alguma luz sobre o fenômeno. Foi observado que:

• Hans só acertava perguntas cuja resposta fosse conhecida pelos espectadores à sua volta.
• Hans precisava ter visão desimpedida, incluindo sua visão periférica, para responder corretamente às questões.

A comissão concluiu que Hans batia uma pata no chão até observar, por sutis sinais de alívio e aprovação de seu treinador ou do público, que havia chegado à contagem correta.

Esta história curiosa ilustra, de maneira notável, alguns aspectos do método científico e do comportamento humano (e animal) em relação ao conhecimento.

Em primeiro lugar, vemos que o ceticismo da investigação científica é uma necessidade. Não é um capricho, uma demonstração de mau-humor, de falta de imaginação ou de arrogância. Na verdade, é uma demonstração cristalina de humildade, em um nível raramente observado em outras áreas: precisamos de ceticismo para com as teses que levantamos, porque geralmente estamos errados. Porque as aparências e nossas pré-disposições nos enganam. A ciência consegue, ao longo do tempo (e com alguns recuos), fugir das armadilhas da aparência, não em virtude de ter em seus quadros pessoas de inteligência incomum, mas porque se cerca de procedimentos, por vezes incômodos, para diminuir a chance de nos enganarmos.

Outra reflexão: apesar do eventual incômodo a que me referi, os fundamentos do método científico estão à disposição de qualquer pessoa. O método de Pfungst é, de fato, simples: variar as condições dos experimentos, para verificar quais delas constituem a essência e a causa do fenômeno estudado. Se uma modificação fez o fenômenos desaparecer, estamos nos aproximando da identificação de sua causa. Não há nada de excessivamente sofisticado ou acadêmico nisso. Esta ferramenta está à nossa disposição para estudarmos e questionarmos muitos aspectos corriqueiros e cotidianos. Ela não é uma construção dos departamentos de ciências exatas das universidades, mas uma parte integral e essencial do espírito crítico do ser humano, a ser explorada e celebrada.

Deve-se notar também que, embora Hans não estivesse de fato fazendo aquilo que seu treinador e a maior parte do público imaginavam, não havia fraude alguma! Nada nas investigações da comissão ou nos experimentos de Pfungst indica que Trotter (que, a propósito, nunca cobrou por suas demonstrações) estivesse conscientemente passando dicas para Hans, ou tivesse tomado qualquer atitude para enganar o público. Este público de então viu, com aqueles olhos que a esta altura a terra já comeu, exatamente o que eles alegavam ter visto. Mas o que foi visto não nos leva a concluir que Hans fosse um cavalo versado em matemática nem (muito mais improvável ainda, obviamente) em alemão. Quando se recebe com ceticismo a informçaão de que uma testemunha alega ter presenciado algo, não estamos questionando sua honestidade ou sua honradez, mas apenas procurando explicações alternativas.

Uma última reflexão: além de ser acusada de arrogância, a ciência é por vezes criticada por “tirar a beleza” ou “o mistério” dos fenômenos. Cá estamos, às voltas com um fenômeno instigante, que nos faz pensar que animais podem ter habilidades maiores do que se imaginara, e lá vêm esses cientistas para estragar tudo com uma explicação sem graça.

E como resposta, deve-se fazer outra pergunta: quem disse que acabou o mistério? O feito de Hans é absolutamente extraordinário. É um fenômeno de interesse para a psicologia e a engenharia ainda hoje, 100 anos depois das demonstrações de Trotter. Apenas temos que interpretar esta curiosa história de maneira correta.

Hans foi capaz de estabelecer uma relação complexa com outros agentes inteligentes, construída a partir de pistas frágeis: de uma base empírica e sem planejamento, ele identificou quais eram as expectativas das pessoas à sua volta e desenvolveu de maneira autônoma um algoritmo para alcançá-la em uma interação não-trivial. Tal habilidade ainda pertence ao mundo dos sonhos da pesquisa moderna em sistemas inteligentes. Hans derrota, sem dificuldade, o mais sofisticado robô conhecido, um século depois de seus feitos. Não conhecemos o mecanismo neuro-químico capaz de representar processamento de informação de tamanha complexidade. Quem se dispuser a investigar este fenômeno não sofrerá por falta de mistérios.

E não precisamos parar por aí. Seria estranho que esse “efeito Hans” não tivesse um equivalente, ainda mais sutil e complexo, quando falamos da relação entre seres humanos. Quando fazemos entrevistas ou pesquisas de opinião, será que nosso sujeito não retira do entrevistador (que se esforça para manter-se neutro) dicas sutis sobre a resposta esperada, e não se sente, em algum nível, compelido a satisfazê-la? Será que isto explica, por exemplo, por que posições políticas extremas frequentemente têm maior representação no processo secreto de voto do que nas pesquisas eleitorais?

Hans nos oferece mistérios instigantes e a ciência nos convida a falarmos sobre eles. Ela só nos ajuda a não perdermos tempo onde o mistério não está.  

Riscos: Probabilidades e Intuição

Temos uma habilidade natural, intuitiva, de evitar situações perigosas, e de tomar atitudes que em média aumentam a chance de um resultado benéfico. Certamente esta é uma das causas da nossa sobrevivência como espécie, nós que não temos habilidades físicas notáveis, e que estávamos, na maior parte de nossa história, vivendo em ambientes hostis e fora do nosso controle. 

Como alternativa a ideias intuitivas sobre riscos e chances, existem os conceitos teóricos de probabilidade e estatística. Uma troca de correspondência a respeito de jogos de dados, entre os matemáticos franceses Fermat e Pascal, em meados do séc. XVIII, é geralmente citada como ponto de partida para esta disciplina. Desde então houve um grande avanço no formalismo matemático, e hoje a teoria da probabilidade é ferramenta da ciência aplicada e engenharia. Não se admite hoje um projeto de engenharia que não leve rigorosamente em conta incertezas e indefinições, ou que não inclua uma estimativa das margens de erro (expressão à qual alguns veem necessidade de acrescentar "para mais ou para menos") e dos limites seguros de operação. 

O cálculo de probabilidades tem papel central também nas ciências puras, e no próprio método científico. Se uma teoria prevê um fenômeno e ele de fato vem a ocorrer, isto não é por si só uma evidência importante. É preciso mostrar que são baixas as chances de tal fenômeno ter ocorrido por causas que nada têm a ver com a teoria investigada. Por tudo isso, teoria de probabilidade é um tópico obrigatório em uma variedade de cursos universitários.

Podemos então comparar nossa intuição com o que prevê esta teoria. Descobriremos que, por vezes, nossa intuição nos induz a uma resposta errada. É interessante investigar por que isto acontece, se afirmamos há pouco que ela nos conduziu com sucesso até aqui. Mais interessante ainda, veremos que em outras situações, nossa intuição está correta, e que uma aplicação descuidada de cálculos de probabilidade nos levaria erradamente a criticá-la. 

Certa vez ouvi um curioso argumento sobre a segurança de viagens de avião. Segundo ouvi, se viajamos ao lado de um sobrevivente de desastre aéreo, podemos ficar mais tranquilos. Esta pessoa deve ter chegado a esta conclusão seguindo este raciocínio: se acidentes de avião são raros, a chance de um acidente nesta viagem específica (que seria o segundo do nosso companheiro sobrevivente) seria menos provável ainda. Este argumento é um exemplo extremo de um erro comum: considerar equivocadamente eventos anteriores na avaliação de riscos futuros. 

Há muitas instâncias desse mesmo erro. À primeira vista, não nos parece natural que, se apostarmos na loteria com os mesmos números que foram sorteados na semana passada, nossa chance de sucesso é igual à de apostar com qualquer outro conjunto de números;  que um casal com 3 filhos homens não deve ter nenhuma expectativa exagerada de ter uma filha na próxima tentativa. Pode não nos parecer natural, mas é uma análise correta. 

Se assim não fosse, vamos imaginar como se daria a situação do avião: as peças que constituem todo o aparelho fazem uma investigação sobre o histórico passado dos viajantes e, identificado o sobrevivente, dedicam-se com mais empenho ao seu perfeito funcionamento, para que ele não sofra outro revés? No sorteio da loteria, quando  um número da semana passada é sorteado de novo, as bolinhas correspondentes aos outros números sorteados semana passada escondem-se, para evitar o vexame? Antes da próxima tentativa do casal, os espermatozóides que carregam o gene X farão um movimento político exigindo melhor chance na próxima corrida?

Desconfio que nossa primeira intuição falha nesses casos porque trocamos inadvertidamente uma análise de risco por uma análise de justiça. Confunde-se o conceito de probabilidades iguais com uma ideia intuitiva de justiça ou neutralidade da natureza. Não é justo que o pobre sobrevivente passe por isso de novo; você já ganhou na loteria com seus números, agora outros precisam ter a chance que merecem. E assim por diante. 

Quando se estuda probabilidade na escola, ou na universidade, os exemplos acima e suas variantes são usados para apresentar uma regra geral: eventos anteriores não afetam probabilidades. Uma vez compreendida, vamos ver como nos saímos em outras questões fictícias sobre riscos e chances. São fictícias, mas todas baseadas em argumentos reais que testemunhei ou sobre os quais li:

Situaçao 1) Você acaba de chegar em uma cidade para passar as férias. Encontra um dia de chuva. Um nativo, observando o seu desânimo, procura lhe tranquilizar: "Nessa época, as chuvas raramente duram mais do que 1 dia. Amanhã deve fazer sol". 

Situação 2) (Pedindo desculpas por insistir em estragar suas férias) Você vai passar férias em uma fazenda, propriedade de sua família há muitas gerações. O rio em frente à sede da propriedade é uma diversão da qual você desfrutou quando criança, e seus pais antes de você. Seus filhos estão se dirigindo ao rio, quando o vizinho chega às pressas, para informar que um jacaré foi avistado no rio ontem.

Situação 3) Você e um colega entrevistam candidatos a um emprego. Vocês acabaram de entrevistar um candidato que aparentemente mede mais de 2 metros de altura. Seu colega comenta: "aposto que o próximo candidato é mais baixo". 

Se você quiser evitar o erro que foi cometido na questão do avião, provavelmente daria uma longa explanação ao nativo do problema 1 para lhe mostrar que não se tem a menor ideia sobre o tempo de amanhã, diria ao vizinho do problema 2 que a segurança do rio, comprovada há tantas gerações, não pode ser questionada por um evento isolado que ocorreu ontem, e diria ao colega do problema 3 que nada se sabe sobre a altura do próximo candidato. E, lamento informar, estaria errado em todos os casos. E o que é pior: se não usasse elaborados argumentos acadêmicos sobre probabilidade, teria provavelmente chegado às respostas corretas: o nativo lhe deu sim um motivo para esperança, tire seus filhos do rio, e não aposte com seu colega, porque é provável que o próximo candidato seja mesmo mais baixo. 

Onde foi que erramos? Ocorre que,  por trás dos princípios gerais com os quais se procura ensinar uma disciplina, existem sutilezas às quais precisamos ficar atentos. 

A primeira questão é entender como variam as probabilidades de todos os resultados possíveis, em cada uma das situações. É o que se chama distribuição de probabilidades. Vamos contrastar duas situações bastante diferentes: o sorteio da loteria e a questão da altura do próximo candidato. No caso do sorteio de números, todos os resultados são igualmente prováveis. Esta é uma situação fortemente artificial. Veja como precisamos de artefatos especialmente construídos para torná-la possível: esferas uniformes, de mesmo peso, rotação dos objetos a sortear para evitar que a posição inicial tenha influência no resultado, e assim por diante. Isto pouco tem a ver com qualquer caso de eventos aleatórios na natureza. Não é estranho que nossa boa intuição para riscos e chances tenha problemas aqui. Os resultados desses artefatos  são de fato pouco intuitivos. Por exemplo, chama-se (de forma infeliz, na minha opinião) a média dos resultados possíveis de "valor esperado". Pois bem, a média dos valores possíveis em um lançamento de dados é três e meio. Se alguém lançar um dado e encontrar o número três e meio, eu gostaria de ser avisado. 

Nas situações naturais, é muito mais comum que o valor médio seja também o mais provável, e o nome "valor esperado" não soa aqui tão ruim. Este é o caso de altura em uma população. Há razões (excessivamente técnicas para serem discutidas aqui) para crermos que, neste caso, o valor médio é também o mais provável. Se vamos fazer uma aposta, é bom apostar no mais provável, que neste caso é igual à média.

Talvez agora fique mais clara a questão da altura do próximo candidato. Pode parecer que o colega está escolhendo a sua aposta baseada em eventos anteriores, mas não está: ele está apostando na média. Se apareceu alguém alto, apostamos na média, e dizemos que o próximo candidato será mais baixo. Se apareceu alguém baixo (e não por causa disso), continuamos a apostar na média, e esperamos que o próximo seja mais alto. 

Esse fenômeno chama-se regressão à média ("reversão" e "retorno" também são termos usados) , e ele é tão comum que cria alguns mitos curiosos: por exemplo, um educador experiente pode ter chegado à conclusão que fazer elogios é maléfico ao  desempenho do aprendiz! É fácil imaginar a origem desse erro: o aprendiz está melhorando seu desempenho médio (espera-se!), mas muito lentamente. Entre duas tentativas, seu desempenho esperado (médio) é mais ou menos o mesmo. Se, por sorte, ele teve um desempenho muito acima da média, é razoável supor que a próxima tentativa não será tão boa. Provavelmente, entre a tentativa de sorte e a seguinte, houve um elogio do mestre, surpreso com um desempenho não esperado. Em seguida vem a "piora", que pode parecer causada pelo elogio...  Também é atribuída ao fenômeno da regressão à média a "decadência" de atletas e artistas logo após um estrondoso sucesso. Mas devemos ficar atentos: em todos esses exemplos, como estamos lidando com o desempenho de seres  que respondem emocionalmente aos últimos sucessos e fracassos, um modelo puramente probabilístico deve ser tomado com algum cuidado.    

Assim, antes de criticar alguém por basear seus riscos em "eventos anteriores", é bom certificar-se de que o raciocínio é mesmo esse. Além disso (e até de forma mais interessante), na maioria das situações naturais, todo o nosso conhecimento sobre riscos e probabilidades é baseado em um longo histórico de eventos anteriores e, tomada ao pé da letra, a regra "não considere eventos anteriores" chega a carecer de sentido. Isto está na origem do nosso erro nos outros dois casos.

Vejamos, por exemplo, a questão do clima. O clima do dia seguinte não é sorteado à meia-noite, com chances iguais de sol, chuva ou canivetes. A chuva depende de massas de ar e umidade com extensão determinada no tempo e no espaço, e correlacionadas com a época do ano. O conhecimento acumulado nos permite estimar aproximadamente se o período atual é de sol ou de chuvas, e o raciocínio do nativo na situação 1 é perfeito: se nessa época é raro ter 2 dias seguidos de chuva, amanhã é mais provável que faça sol. Façamos uma analogia: se você sabe que, em seu serviço, atende em média 50 pessoas por dia nessa época do ano, e acabou de atender a pessoa 49, está errado em pensar que seu trabalho naquele dia está perto do fim?

Voltemos à questão do jacaré. A única conclusão possível é bastante óbvia: há um jacaré à solta! Espere que o jacaré seja encontrado antes de retornar a suas estimativas históricas sobre a segurança do local. Bem ao contrário do que uma análise descuidada de probabilidades poderia sugerir, o evento imediato e próximo nos dá mais informação aqui do que o histórico anterior.

E é exatamente assim que agimos. Especialistas de marketing sabem que o consumidor é capaz de mudar completamente uma decisão bem pensada de compra, baseando-se em um único evento, especialmente se ele é recente, e se ocorreu a uma pessoa próxima. Na maioria dos casos, nada há de errado (nem mesmo de irracional) nessa estratégia. Quando compramos um carro, não compramos um conceito teórico de carro médio do fabricante x. Compramos um carro específico, fabricado com as mesmas qualidades e defeitos de modelos recentes e que circulam na minha região do país. É absolutamente correto observar a experiência de compradores da minha região que fecharam negócio recentemente, e não o histórico mundial de desempenho do veículo. 

Ao longo dos argumentos, acabei adiantando o motivo de nossa intuição ser perfeita em algumas situações de risco, e falhar tão curiosamente em outras. Esta ideia não é nova, sendo bem conhecida pelos defensores da chamada psicologia evolutiva: nossa intuição não é uma máquina de computar probabilidades teóricas, mas um dispositivo otimizado para avaliação de risco em situações reais a que fomos expostos em nossa história biológica. Quando usamos este dispositivo em condições diferentes daquelas nas quais ele evoluiu para trabalhar, não surpreende que os resultados sejam ruins.

Em resumo, nas situações que envolvem probabilidades iguais para todos os eventos (que são geralmente construídas de maneira artificial), é preciso ter cuidado com nossa intuição ao avaliar riscos e chances.  Nas demais (que constituem, por sinal, a maioria), nossa intuição não deve ser facilmente desprezada.

Sobre

Este conjunto de textos deve ser visto como um exercício de divulgação de ideias e convites à reflexão a respeito de temas que considero interessantes. Não se trata propriamente de um diário ou registro digital (blog). Não se pretende descrever passo a passo uma experiência específica do autor, nem haverá uma preocupação particular com a postagem de textos curtos e atualizações frequentes.

Ainda que os textos não se limitem a um único assunto, a perspectiva particular de quem os escreve é a de alguém com formação em tecnologia. Na verdade, como parte deste exercício a que me referi, será proposta uma crítica à ideia de que o campo da tecnologia reúne atividades de menor interesse intelectual, ou mesmo opostas a preocupações humanísticas e culturais. 

Comentários  são bem-vindos!