Riscos III - O falso positivo.

Esta é mais uma das questões surpreendentes da área de probabilidade:

Você acaba de fazer um exame para detectar uma doença rada, que afeta 1% da população. O resultado, infelizmente, é positivo. Qual a chance de você ter mesmo a doença, sabendo-se que a taxa de falso positivo para este exame é de 1%?

A resposta correta, 50%, não é a mais popular. Ora, se o falso positivo é 1%, não é óbvio que há 99% de chance de termos um "verdadeiro positivo"? É evidente que, mais uma vez, uma pequena confusão semântica estabeleceu-se sobre o significado da expressão "falso positivo".

Não é difícil chegar à resposta correta se raciocinamos da seguinte forma: ou você pertence ao grupo de 1% que tem a doença, ou ao grupo de 1% que, apesar de não ter a doença, é acusado pelo exame. Sem outra informação disponível, a possibilidade de pertencer a um ou outro grupo de 1% é a mesma, e concluímos que a chance de você ser saudável ainda são esperançosos 50%.

Como sempre acontece, esclarecida esta questão, surgem outras. A primeira conclusão (errada) que se pode tirar é que o exame não diz muito. Afinal, depois de todo o trabalho de fazer o exame e esperar o resultado, temos apenas 50% de certeza. Mas vamos com calma: em primeiro lugar, os números do nosso problema são um pouco artificiais. Um exame para uma doença rara, na verdade, costuma ter taxas de falso positivo menores ainda (observe como é difícil desenvolver um bom exame para uma doença rara). Em segundo lugar, e mais importante, o exame nos deu uma enorme quantidade de informação. Saímos de uma pequena dúvida sobre termos a doença (1%) para uma situação muito mais clara (50%), embora talvez não tão clara quanto desejássemos.

Outra pergunta que surge é: não haveria uma definição mais prática de falso positivo, que me desse de imediato a resposta ao problema em questão (afinal, não é isso que eu busco quando falo em falso positivo)? Em outras palavras, não seria melhor dizer que o falso positivo do exame do problema considerado é 50%, o que me permitiria chegar mais facilmente à resposta correta?

Infelizmente, esta definição "prática" é, na verdade, impraticável, com o perdão do trocadilho. Observem que a resposta correta ao problema depende não só do exame em si, mas da raridade da doença. Se a doença afetasse 10% da população, a chance de estar doente, com os mesmos 1% de falso positivo, subiria para quase 91%. Assim, não se pode atribuir ao exame um número único, que nos dê a resposta correta para a questão. Não há saída fácil. É preciso ter cuidado com as definições, e fazer todas as contas.